Question

【题目】已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点.

（1）若直线斜率为1，过椭圆的右焦点，求弦的长；

（2）若，且为锐角，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦AB的长；

（2）直线l方程为y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角，转化为利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．

（1）由题意知，右焦点F2（，0），则直线l的方程为y＝x﹣，

联立，得5x2﹣x+8＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴|AB|；

（2）若，则l的方程为y＝kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立

∴，

由△＝（16k）2﹣4（1+4k2）12＞0，16k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①

又∠AOB为锐角，

∴

又y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4

∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4

∴．②

综①②可知，

∴k的取值范围是．