Question

已知y=3cos2x+2

3

sinxcosx+sin2x，x∈R．求：
（1）函数的最小正周期；函数的单调减区间；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，函数的最大值、最小值；
（3）函数的图象是y=sinx经过怎样的变化得到的？

Answer 1

分析：将函数解析式三项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；根据正弦函数的递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到函数的递减区间；
（2）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，根据正弦函数的值域即可求出函数的最大值与最小值；
（3）y=sinx图象向左平移

π

6

个单位，然后横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，最后向上平移2个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+2．

解答：解：y=3cos²x+2

3

sinxcosx+sin²x
=3×

1+cos2x

2

+

3

sin2x+

1-cos2x

2

=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2，
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
则函数的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
则函数的最大值为4，最小值为2-

3

；
（3）y=sinx图象向左平移

π

6

个单位，得到y=sin（x+

π

6

），
横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=sin（2x+

π

6

），
纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y=2sin（2x+

π

6

），
向上平移2个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的图象变换，灵活运用三角函数的恒等变换将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．