Question

8．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b²+4c²=8，sinB+2sinC=6bsinAsinC，则△ABC的面积取最大值时有a²=$\frac{15-8\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设三角形面积为S，由正弦定理可得b+2c=6absinC=12S，解得S=$\frac{\sqrt{8+4bc}}{12}$，由b²+4c²=8≥4bc，解得：bc≤2，当且仅当b=2c时等号成立，可得S≤$\frac{1}{3}$，当且仅当b=2c时等号成立，解得b，c，利用三角形面积公式可求sinA的值，求得cosA，利用余弦定理即可求解．

解答 解：设三角形面积为S，∵sinB+2sinC=6bsinAsinC，且由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴b+2c=6absinC=12S，解得：S=$\frac{b+2c}{12}$=$\frac{\sqrt{（b+2c）^{2}}}{12}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4{c}^{2}+4bc}}{12}$=$\frac{\sqrt{8+4bc}}{12}$，
∵b²+4c²=8≥4bc，解得：bc≤2，当且仅当b=2c时等号成立，
∴S≤$\frac{1}{3}$，当且仅当b=2c时等号成立，
∴当b=2c时，b²+4c²=8，解得：b=2，c=1，S=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×1×$sinA，解得：sinA=$\frac{1}{3}$，
∴由三角形为锐角三角形，解得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴此时，a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2×2×1×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{15-8\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{15-8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查．