Question

1．如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ=$\frac{π}{4}$，其它区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度．
（1）求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S（θ）；
（2）求面积S的最小值．

Answer 1

分析 方法一：（1）通过锐角三角函数的定义及过点P作AQ的垂线且垂足为E可知$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{cosθ}$，进而利用面积公式计算即得结论；（2）利用辅助角公式化简可知$S（θ）=\frac{1}{{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}}$，进而利用三角函数的有界性即得结论；
方法二：（1）利用θ分别表示出DQ、QC的值，利用利用面积公式化简即得结论；（2）通过对$S（θ）=\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2（1+tanθ）}$变形可知$S（θ）=\frac{1}{2}[（tanθ+1）+\frac{2}{tanθ+1}-2]$，进而利用基本不等式计算即得结论．

解答 方法一
解：（1）∵∠BAP=θ，正方形边长为1（百米），
∴$AP=\frac{1}{cosθ}$，$AQ=\frac{1}{{cos（\frac{π}{4}-θ）}}$，…（2分）
过点P作AQ的垂线，垂足为E，则$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{cosθ}$，…（4分）
∴$S（θ）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}•\frac{1}{cosθ}•\frac{1}{{cos（\frac{π}{4}-θ）}}$=$\frac{1}{1+cos2θ+sin2θ}$，其中$θ∈[{0\;，\;\frac{π}{4}}]$…（8分）
（少定义域扣2分）．
（2）∵$S（θ）=\frac{1}{1+cos2θ+sin2θ}$，
∴$S（θ）=\frac{1}{{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}}$，…（11分）
∴当$sin（2θ+\frac{π}{4}）=1$时，即$θ=\frac{π}{8}$时，取得最小值为$\sqrt{2}-1$．…（14分）
答：当$θ=\frac{π}{8}$时，面积S的最小值为$\sqrt{2}-1$．…（16分）
方法二
解：（1）∵∠BAP=θ，
∴$DQ=tan（\frac{π}{4}-θ）$，$QC=1-tan（\frac{π}{4}-θ）$，…（2分）
∴$S（θ）=1-\frac{1}{2}tanθ-\frac{1}{2}•\frac{1-tanθ}{1+tanθ}-\frac{1}{2}\frac{2tanθ（1-tanθ）}{1+tanθ}$…（4分）
=$\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2（1+tanθ）}$，$θ∈[{0\;，\;\frac{π}{4}}]$…（8分）（少定义域扣2分）
（2）∵$S（θ）=\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2（1+tanθ）}$，
∴$S（θ）=\frac{1}{2}[（tanθ+1）+\frac{2}{tanθ+1}-2]$…（13分）
当$tanθ+1=\sqrt{2}$时，即$tanθ=\sqrt{2}-1$取得最小值$\sqrt{2}-1$，…（15分）
答：当$tanθ=\sqrt{2}-1$时，面积S的最小值为$\sqrt{2}-1$．…（16分）

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查面积计算、三角函数等相关基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．