Question

（本题满分14分）
已知函数，点．
（Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；
（Ⅱ） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，
令得，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值，
在处取得极小值．函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，
则只要且即可，即只要即可．
所以的取值范围是．                                    ………… 4分
（Ⅱ）当时，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
也即在对任意的恒成立．                  
令，则．        ………… 6分
记，则，
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点，
故也是最小值点，所以，
从而，所以函数在单调递增．
函数．故只要即可．
所以的取值范围是                             ………… 9分
（Ⅲ）假设，即，
即，
故，
即．
由于是方程的两个根，
故．代入上式得．   ………… 12分
，
即，与矛盾，
所以直线与直线不可能垂直．                           ………… 14分

解析