Question

已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：先对6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0进行因式分解得到sinα、cosα的关系，再根据α的范围求出tanα的值，将sin（2α+

π

3

）用两角和与差的正弦公式展开后再利用二倍角公式整理，将tanα的值代入和得到最后答案．

解答： 解：由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα-cosα）=0?3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0
由已知条件可知cosα≠0，所以α≠

π

2

，
∴tanα=-

2

3

，或tanα=

1

2

．
sin（2α+

π

3

）=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=sinαcosα+

3

2

（cos²α-sin²α）
=

sinαcosα

cos2α+sin2α

+

3

2

×

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

tanα

1+tan2α

+

3

2

×

1-tan2α

1+tan2α

将tanα=-

2

3

代入上式得：
sin（2α+

π

3

）=-

- 2 3

1+(- 2 3 )2

+

3

2

×

1-(- 2 3 )2

1+(- 2 3 )2

=-

6

13

+

5 3

26

．
将tanα=

1

2

代入上式得：
sin（2α+

π

3

）=

1 2

1+ 1 4

+

3

2

×

1- 1 4

1+ 1 4

=

4+3 3

10

．
故sin（2α+

π

3

）的值为：-

6

13

+

5 3

26

或

4+3 3

10

．

点评：本题主要考查了三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，属于中档题．