Question

如图，△ABC中，D是BC边上的中线，且BC=2

2

，AD=

3

，则△ABC周长的最大值为

2

2

+2

5

．

Answer 1

分析：根据平面向量加减法的运算法则与向量数量积的运算性质，算出2（

|AB|

2+

|AC|

2）=4|

AD

|²+|

BC

|²=20．再利用基本不等式，证出（

|AB|

+

|AC|

）²≤2（

|AB|

2+

|AC|

2）=20，从而得出当

|AB|

=

|AC|

时，

|AB|

+

|AC|

的最大值为2

5

，由此即可得到△ABC周长的最大值．

解答：解：∵△ABC中，D是BC边上的中线，
∴

AB

+

AC

=2

AD

，两边平方得（

AB

+

AC

）²=4

AD

²=4|

AD

|²=12．…①
又∵

BC

=

AC

-

AB

，BC=2

2

，
∴（

AC

-

AB

）²=

BC

²=|

BC

|²=8．…②
将①②两式相加，可得（

AB

+

AC

）²+（

AC

-

AB

）²=20，
即2（

AB

2+

AC

2）=20，可得

|AB|

2+

|AC|

2=10，
由基本不等式，得（

|AB|

+

|AC|

）²≤2（

|AB|

2+

|AC|

2）=20，
∴

|AB|

+

|AC|

≤

20

=2

5

，
当且仅当

|AB|

=

|AC|

=

5

时，

|AB|

+

|AC|

的最大值为2

5

，
因此，△ABC周长

|AB|

+

|AC|

+

|BC|

的最大值为2

2

+2

5

故答案为：2

2

+2

5

．

点评：本题结合三角形一边长和这条边上的中线长，求三角形周长的最大值，着重考查了利用基本不等式求最值、向量的线性运算法则和向量数量积的运算性质等知识，属于中档题．