Question

已知函数f(x)=sin(x+

π

6

)+sin(x-

π

6

)+2cos2

x

2

+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最大值与最小值之和为

3

，求a的值．

Answer 1

分析：化简函数f(x)=sin(x+

π

6

)+sin(x-

π

6

)+2cos2

x

2

+a（a∈R，a为常数）．为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）利用周期公式直接求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求出函数的在[-

π

2

，

π

2

]的最大值和最小值，令f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最大值与最小值之和为

3

，求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinx+cosx+1+a=2sin(x+

π

6

)+a+1，（4分）
∴T=2π．（5分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴x+

π

6

∈[-

π

3

，

2

3

π]．
∴sin(x+

π

6

)∈[-

3

2

，1]．（8分）
∴

f(x)max=3+a f(x)min=- 3 +1+a.

（10分）
∴3+a-

3

+1+a=

3

，解得a=

3

-2．（12分）

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，考查计算能力，是基础题．