【题目】设A,B分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
【答案】(1);(2)t=4,点D的坐标为(4,3).
【解析】
(1)由双曲线的实轴长得a的值,再由焦点到渐近线的距离可得=,解方程可得双曲线的方程;
(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),由向量坐标化可得:x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,再由直线与双曲线联立得x2-16x+84=0,结合坐标关系利用韦达定理即可求解.
(1)由题意知a=2.
∴一条渐近线为y=x,即bx-2y=0.
∴=.
又c2=a2+b2=12+b2,∴解得b2=3.
∴双曲线的方程为.
(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0.
则x1+x2=16,y1+y2=12.
∴∴
由,得(16,12)=(4t,3t).
∴t=4,点D的坐标为(4,3).
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【题目】已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的反函数的图象经过点( , ).若函数g(x)的定义域为R,当x∈[﹣2,2]时,有g(x)=f(x),且函数g(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是( )
A.g(π)<g(3)<g( )
B.g(π)<g( )<g(3)??
C.g( )<g(3)<g(π)
D.g( )<g(π)<g(3)
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 若Sm﹣1=﹣4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*).
(1)求m的值;
(2)若数列{bn}满足 =logabn(n∈N*),求数列{(an+6)bn}的前n项和.
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【题目】△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a≠b,c= ,且bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若△ABC的面积为 ,求a与b的值.
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【题目】把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍,再向左平移 ,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递减区间为( )
A.
B. ??
C.
D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.
(1)求椭圆E的标准方程与离心率;
(2)若直线l与椭圆E交于C,D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆: 与轴的正半轴交于点,以为圆心的圆: ()与圆交于, 两点.
(1)若直线与圆切于第一象限,且与坐标轴交于, ,当直线长最小时,求直线的方程;
(2)设是圆上异于, 的任意一点,直线、分别与轴交于点和,问是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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