Question

已知函数g(x)＝ax²－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝.
(1)求a、b的值及函数f(x)的解析式；
(2)若不等式f(2^x)－k·2^x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）a＝1，b＝0，g(x)＝x²－2x＋1，f(x)＝x＋－2.（2）(－∞，1]

(1)g(x)＝ax²－2ax＋1＋b，由题意得
①得
②得 (舍)．
∴a＝1，b＝0，g(x)＝x²－2x＋1，f(x)＝x＋－2.
(2)不等式f(2^x)－k·2^x≥0，即2^x＋－2≥k·2^x，
∴k≤－2·＋1.
设t＝，则k≤t²－2t＋1，∵x∈[－1，1]，故t∈.
记h(t)＝t²－2t＋1，∵t∈，∴h(t)_max＝1，
故所求k的取值范围是(－∞，1]