Question

已知函数f（x）=x²+（a-2）x-alnx，其中常数a≠0．
（I）若x=3是函数y=f（x）极值点，求a的值；
（II）当a=-2时，给出两组直线：6x+y+m=0，x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两组直线中是否存在y=f（x）的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由．
（III）是否存在正实数a，使得关于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一实数解？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）若x=3是函数y=f（x）极值点，则x=3时导数一定为0，求出函数的导数，令导数等于0，解出a值即可．
（II）y=f（x）的切线斜率，时y=f（x）在切点出的导数，先求导，判断导数的正负，考虑哪条直线有可能是切线，
再根据导数值等于直线的斜率求切点坐标，若能求出，则存在，再求切线方程即可．
（III）把判断方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一实数解的问题，转化为判断函数由唯一交点的问题，再借助二次函数与对数函数图象判断．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x+（a-2）-

a

x

=

2x2+(a-2)x-a

x

∵x=3是函数y=f（x）的极值点，
∴f′（3）=0，即

2×32+3(a-2)-a

3

=0∴a=-6
检验：当a=-6时，f（x）=x²-8x+6lnx，f′（x）=2x-8+

6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

∴x∈（1，3）时，f′（x）＜0，∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，此时，x=3是函数y=f（x）的极小值点．
∴当x=3是函数的极值点时，a=-6
（II）当a=-2时，f（x）=x²-4x+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2（x+

1

x

-2）≥0
∴曲线f（x）在定义域内的任意一点处的切线的斜率都大于等于0．
∴曲线f（x）可以与x-y+n=0中的一条直线相切
此时切线的斜率是1，
设切点坐标为（x₀，f（x₀）），则由f′（x₀）=1解得x₀=

1

2

或2．
∴切点坐标为（

1

2

，-2-2ln2），或（2，-4+ln2），
切线方程为x-y-2-2ln2=0或x-y-6+2ln2=0
（III）方程f（x）=（3a-2）x+alnx可化为x²+（a-2）x-alnx=（3a-2）x+alnx
即x²-2ax=2alnx
令函数g（x）=x²-2ax，h（x）=2alnx
∴函数g（x）的图象与函数h（x）的图象当x＞0时有唯一交点．
而当a＞0时，g（x）图象开口向上，对称轴在y轴右侧，且过原点，
h（x）图象在y轴右侧，为过（1，0）点的增函数，两函数的图象一定有2个交点．
∴不在正实数a，使得关于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一实数解

点评：本题考查了导数与极值之间的关系，导数几何意义的应用，以及利用函数图象判断方程的根的个数．