Question

12．求y=x|x-a|在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （2）当a＞0时，求出函数f（x）=x|x-a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．

解答 解：由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
若a≤0，则函数y=f（x）在[0，1]上为增函数，此时函数的最大值为f（1）=|1-a|=1-a，
如a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，
由${x}^{2}-ax=\frac{{a}^{2}}{4}，即x=（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
当$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a-1；
当$\frac{1}{2}＜1＜（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
即$2（\sqrt{2}-1）≤a＜2$时，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上递增，在[$\frac{a}{2}$，a]上递减，
∴f（x）的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当$（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a＜1$，即$0＜a＜2（\sqrt{2}-1）$时，
f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上递增，在[$\frac{a}{2}$，a]上递减，在[a，1]上递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=1-a．

点评 本题主要考查函最值的求解，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．