Question

已知函数f（x）=a^x-1的图象经过点（3，4），其中a＞0，a≠1．且函数f（x）=(logax)2-logax3+2，x∈[

1

4

，2]的值域为B． 
（1）求集合B；
（2）若方程a(

3	2

)x+b=0(a＞0)在B上有解，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=f（x）的图象经过P（3，4），求出a的值，再换元，利用配方法，可求集合B；
（2）令g（x）=a(

3	2

)x+b，方程a(

3	2

)x+b=0(a＞0)在B上有解，等价于g（0）g（12）＜0，由此可求

b

a

的取值范围．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4），∴a^3-1=4，即a²=4，
又a＞0，∴a=2，
∴f(x)=(log2x)2-log2x3+2，x∈[

1

4

，2]
令t=log₂x，则t∈[-2，1]，y=t²-3t+2=（t-

3

2

）²-

1

4

∵t∈[-2，1]，∴y∈[0，12]，
∴B=[0，12]；
（2）令g（x）=a(

3	2

)x+b
∵方程a(

3	2

)x+b=0(a＞0)在B上有解，
∴g（0）g（12）＜0
∴（a+b）（16a+b）＜0
解得-16＜

b

a

＜-1．

点评：本题考查函数的值域，考查方程有解问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．