Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），过F₁作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点，若△ABF₁为正三角形，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 由椭圆可知c=1，由△ABF₂是正三角形，得a=$\sqrt{3}$，代入离心率公式得答案．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴2c=2，c=1，
由△ABF₂为正三角形，可得△BF₁F₂为直角三角形，
设BF₁=x，则BF₂=2x，
∴4x²=x²+4，即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴2a=$2\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，对于椭圆对称性的理解是解题的关键，属中档题．