Question

集合M={f（x）|存在实数t使得函数f（x）满足f（t+1）=f（t）+f（1）}，下列函数（a，b，c，k都是常数）
（1）y=kx+b（k≠0，b≠0）；（2）y=ax²+bx+c（a≠0）；
（3）y=a^x（0＜a＜1）；（4）y=

k

x

(k≠0)；
（5）y=sinx
属于M的函数有

（2）（5）

．（只须填序号）

Answer 1

分析：由于函数f（x）满足f（t+1）=f（t）+f（1），由此对（1）（2）（3）（4）（5）逐个判断即可．

解答：解：∵集合M={f（x）|存在实数t使得函数f（x）满足f（t+1）=f（t）+f（1）}，
∴对于（1），∵f（x）=kx+b（k≠0，b≠0），f（1）=k+b，f（x）+f（1）=kx+b+k+b=kx+k+2b
∵b≠0，
∴f（x+1）=k（x+1）+b=kx+b+k≠kx+k+2b=f（x）+f（1），故（1）∉集合M；
对于（2），∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），故f（1）=a+b+c，
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+2ax+a+b，令x=

c

2a

，则f（x+1）=ax²+bx+c+a+b+c=f（x）+f（1），故（2）满足题意；
对于（3），∵f（x）=a^x（0＜a＜1），f（1）=a，
∴f（x+1）=a^x+1=a•a^x＜a^x＜a^x+a=f（x）+f（1），故（3）∉集合M；
对于（4），f（x+1）=

k

x+1

(k≠0)，f（1）=k，
假设存在x使得

k

x+1

=

k

x

+k，由于k≠0，
∴

1

x

-

1

x+1

+1=0，
∴x²+x+1=0，由于△=1-4=-3＜0，
故方程x²+x+1=0无实数根，根（4）∉集合M；
对于（5），∵f（x+1）=sin（x+1），f（1）=sin1，
?x=0，使得f（0+1）=f（0）+f（1）成立，故（5）∈集合M．
综上所述，属于M的函数有（2）（5）．
故答案为：（2）（5）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，正确理解f（x）满足f（t+1）=f（t）+f（1）是关键，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档综合题．