Question

【题目】已知f（x）=（logmx）2+2logmx﹣3（m＞0，且m≠1）．
（Ⅰ）当m=2时，解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）f（x）＜0在[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）＜0，

可得（log2x）2+2log2x﹣3＜0，

即为﹣3＜log2x＜1，

解得 ＜x＜2，

故原不等式的解集为{x| ＜x＜2}；

（Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，

得﹣3＜logmx＜1在[2，4]恒成立，

①当m＞1时，解得m﹣3＜x＜m，

即有m﹣3＜2且4＜m，

解得m＞4；

②当0＜m＜1时，解得m＜x＜m﹣3，

即有m﹣3＞4且m＜2，

解得0＜m＜ ．

故实数m的取值范围是（0， ）∪（4，+∞）．

【解析】（1）当m=2时，f（x）＜0，可得（log2x）2+2log2x﹣3＜0，解得﹣3＜log2x＜1，再解对数不等式即可得到x的解集，（2）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，得﹣3＜logmx＜1在[2，4]恒成立，对m进行分类讨论，从而得到实数m的取值范围.