Question

如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-DEF的体积最大值为

1

64

a³；
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
⑤直线DF与直线A′E可能共面．
其中正确的命题是

 

（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析：根据空间线面平行，面面垂直，以及共面定理分别进行判断即可．

解答：解：①中由已知可得四边形ABCD 是菱形，
则DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，①正确；
又 BC∥DE，∴BC∥平面A′DE；②正确；
当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′-DEF 的体积达到最大，最大值为

1

3

×

1

4

×

3

4

a²×

3

4

a=

1

64

a³，③正确；
由面A′FG⊥面ABC，可知点A′在面ABC 上的射影在线段AF 上，∴④正确；
在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面，⑤不正确．
故答案为：①②③④

点评：本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的性质定理和判定定理．