Question

在△ABC中，已知A（0，a），B（0，-a），AC，CB两边所在的直线分别与x轴交于原点同侧的点M，N，且满足|OM|•|ON|=4a²（a为不等于零的常数）
（1）求点C的轨迹方程；
（2）如果存在直线l：y=kx-1（k≠0），使l与点C的轨迹相交于不同的P，Q两点，且|AP|=|AQ|，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三点共线两直线斜率相等将M，N的坐标用C的坐标表示，将M，N坐标代入|OM|•|ON|=4a²，求出C的轨迹方程．
（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q的中点，据中垂线上的点到线段两端点的距离线段，得到A在PQ的中垂线上，利用两线垂直，斜率之积为-1，列出方程，代入判别式求出a的范围．

解答：解：（1）设点C（x，y）（x≠1）M（x_M，0），N（x_N，0）
当y=a时，AC∥x轴，当y=-a时，BC∥x轴，与题意不符，所以y≠±a；
由A、C、M三点共线有

a-0

0-xM

=

a-y

0-x

，解得x_M=

ax

a-y

同理由B、C、N三点共线，解得x_N=

ax

a+y

∵x_M•x_N＞0，∴|OM|•|ON|=x_M•x_N=

ax

a-y

•

ax

a+y

=4a²，
化简得点C的轨迹方程为x²+4y²=4a²（x≠0）
（2）设PQ的中点为R，

x2+4y2=4a2 y=kx-1

∴（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0，
由△=64k²-4（1+4k²）（1-4a²）＞0，
化简得4a²k²+a²-1＞0①x_R=

x1+x2

2

=

4k

1+4k2

，y_R=kx_R-1=

-1

1+4k2

∵|AP|=|AQ|?，即k_AR•k=-1，
∴

a+ 1 1+4k2

0- 4k 1+4k2

•k=1，4ak²+a-3=0，即k²=

3-a

4a

②
∵k≠0，∴k²＞0，∴0＜a＜3把②代入①并化简得3a-1＞0?a＞

1

3

当a=1时，直线l过点B，而曲线C不过点B，所以直线l与曲线C只有一个公共点故a=1舍去；
故a的取值范围是

1

3

＜a＜3且a≠1

点评：本题考查利用直接法求动点的轨迹方程、考查三点共线两直线斜率相等、考查二次方程的韦达定理、中点坐标公式．