Question

若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y²=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（　　）

• A．（0，0）
• B．（1，1）
• C．（2，2）
• D．(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．

解答：解：根据题意，作图如下，

设点P在其准线x=-

1

2

上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y₀=2，设其横坐标为x₀，
∵P（x₀，2）为抛物线y²=2x上的点，
∴x₀=2，
∴点P的坐标为P（2，2）．
故选C．

点评：本题考查抛物线的简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．