Question

【题目】如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，即，利用线面平行的判定定理可得出结论；

（2）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出平面与平面所成二面角的余弦值，进而可得出其正弦值；

（3）设，，计算出的坐标，结合直线与平面所成角的正弦值为求得实数的值，进而可求得的长.

（1）如下图所示，设，取的中点，连接、，

四边形为矩形，，为的中点，

为的中点，且，

，，且，

所以，四边形为平行四边形，则，即，

平面，平面，平面；

（2）四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，

取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

由，令，则，，，

设平面的法向量为，，，

由，令，则，，则，

，，

因此，平面与平面所成二面角的正弦值为；

（3）点在线段上，设，

，

由题意得，

整理得，，解得，此时，则.