Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y-2=0，其圆心为C，过点P（2，3）作一直线l；
（1）若直线l和圆C有交点，这该直线斜率的取值范围是多少？
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB所对的圆心角为

2π

3

，求该直线的方程．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标和半径r，
（1）先求过P的切线方程，设过P与圆相切的方程的斜率为k，表示出切线的方程，由直线与圆相切，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值，故由直线l与圆C有交点，得到直线斜率的取值范围；
（2）取AB得中点为M，连接CM，根据垂径定理得到CM与AB垂直，由∠ACB的度数为

2π

3

求出∠ACM的度数为

π

3

，由AC的长得一半求出CM的长，即为C到AB的距离，当直线方程的斜率存在时，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值，确定出直线的方程；当直线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题意，综上，得到所有满足题意的直线方程．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-1）2=4，
可得圆C的圆心坐标为（1，1），半径为2，
（1）设过P（2，3）的切线方程为y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0，
由圆心到直线的距离为d=

|k-1-2k+3|

1+k2

=2，解得k=0或-

4

3

，
所以若直线l与圆C有交点，该直线斜率的取值范围是（-∞，-

4

3

]∪[0，+∞）；
（2）取AB得中点为M，连接CM，则CM⊥AB，
由∠ACB=

2π

3

，有∠ACM=

π

3

，
由于AC=r=2，所以CM=1，即C到AB的距离为1，
当直线方程的斜率存在时，则有d=

|k-1-2k+3|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，
此时直线方程为3x-4y+6=0，
当直线的斜率不存在时，直线为x=2，点（1，1）到它的距离为1，也满足题意，
综上，直线方程为3x-4y+6=0或x=2．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线的斜截式方程，点到直线的距离公式，垂径定理，直角三角形的性质，利用了转化及分类讨论的思想，直线与圆的位置关系可以用d与r的大小关系来判断，当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．