Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x-2x，x∈R
（1）证明f（x）为奇函数，并在R上为增函数；
（2）若关于x的不等式f（x）≤me^x-2x+2m-3在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）验证f（-x）=-f（x），再用导数验证单调性；
（2）由f（x）≤me^x-2x+2m-3得e^x-e^-x-2x≤me^x-2x+2m-3，故m（e^x+2）≥e^x-e^-x+3，变形得m≥1+

ex-1

e2x+2ex

令t=e^x-1得 m≥1+

t

t2+4t+3

=1+

1

t+ 3 t +4

，用基本不等式求最值；
（3）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，求导整理得g′（x）═2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
由于e^x+e^-x-2≥0，只对因式）（e^x+e^-x-2b+2）分情况讨论即可．

解答： 解：（1）x∈R，f（-x）=e^-x-e^x+2x=-（e^x-e^-x-2x）=-f（x），所以f（x）为奇函数
∵f′(x)=ex+

1

ex

-2，而ex+

1

ex

-2≥2

1

-2=0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上增，
（2）由f（x）≤me^x-2x+2m-3得e^x-e^-x-2x≤me^x-2x+2m-3，∴m（e^x+2）≥e^x-e^-x+3，变形得m≥1+

ex-1

e2x+2ex

，
∴m只要大于或等于右边式子的最大值即可
令t=e^x-1得 m≥1+

t

t2+4t+3

=1+

1

t+ 3 t +4

，
∵

1

t+ 3 t +4

≤

1

2 3 +4

∴m≥1+

1

2 3 +4

；
（3）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
g′（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]=
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
∵e^x+e^-x-2≥0，
（i）当b≤2时，-2b+2≥-2，∴e^x+e^-x-2b+2≥0，∴g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．而g（0）=0，
所以对任意x＞0，g（x）＞0．
（ii）当b＞2时，∴2b-2＞2，
若x满足2＜e^x+e^-x＜2b-2，即0＜x＜ln（b-1+

b2-2b

）时，g′（x）＜0．而g（0）=0，因此当0＜x＜ln（b-1+

b2-2b

）时，g（x）＜0，不满足要求．
综上b≤2，故b的最大值为2．

点评：本题主要考查函数与导数的关系，突出分类讨论的数学思想，分类的技巧是解题的关键．