Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足

MN

=

MF1

+

MF2

，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若

OA

•

OB

=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用F₂是抛物线C₂：y²=4x的焦点求出F₂的坐标，再利用|MF₂|=

5

3

以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C₁的方程；
（Ⅱ）先利用

MN

=

MF1

+

MF2

，以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入

OA

•

OB

=0，即可求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由C₂：y²=4x知F₂（1，0）．
设M（x₁，y₁），M在C₂上，因为|MF2|=

5

3

，
所以x1+1=

5

3

，得x1=

2

3

，y1=

2 6

3

．M在C₁上，且椭圆C₁的半焦距c=1，
于是

4 9a2 + 8 3b2 =1 b2=a2-1.

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=

1

3

不合题意，舍去）．
故椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

MF1

+

MF2

=

MN

知四边形MF₁NF₂是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，
故l的斜率k=

2 6 3

2 3

=

6

．设l的方程为y=

6

(x-m)．
由

3x2+4y2=12 y= 6 (x-m)

消去y并化简得9x²-16mx+8m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

16m

9

，x1x2=

8m2-4

9

．
因为

OA

⊥

OB

，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）
=7x₁x₂-6m（x₁+x₂）+6m²
=7•

8m2-4

9

-6m•

16m

9

+6m2=

1

9

(14m2-28)=0．
所以m=±

2

．此时△=（16m）²-4×9（8m²-4）＞0，
故所求直线l的方程为y=

6

x-2

3

，或y=

6

x+2

3

．

点评：本题是对椭圆与抛物线以及直线与椭圆位置关系的综合考查．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．