Question

【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表

方式	实施地点	大雨	中雨	小雨	模拟实验总次数
A	甲	4次	6次	2次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据
（I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨， 得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：

方式	实施地点	大雨	中雨	小雨
A	甲	P（A1）=	P（A2）=	P（A3）=
B	乙	P（B1）=	P（B2）=	P（B3）=
C	丙	P（C1）=	P（C2）=	P（C3）=

记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，
则P（E）=P（A2）P（B2）P（C2）= = ．
（Ⅱ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1 ， p2 ， p3 ，
则 ，p2=p（B1）= ，p3=P（C2）+P（C3）= ，
ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）= = ，
P（ξ=1）=p1（1﹣p2）（1﹣p3）+（1﹣p1）p2（1﹣p3）+（1﹣p1）（1﹣p2）p3
= + + = ，
P（ξ=2）=p1p2（1﹣p3）+（1﹣p1）p2p3+p1（1﹣p2）p3
= + = ，
P（ξ=3）=p1p2p3= = ，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ= = ．
【解析】（Ⅰ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率．（Ⅱ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1 ， p2 ， p3 ， 则 ，p2=p（B1）= ，p3=P（C2）+P（C3）= ，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．