Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1（n∈N⁺）．
（1）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n=2n+1．从而$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和．
（2）由已知得${b}_{n}={2}^{n-1}$，从而a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N⁺），
∴a₁=S₁=1+2=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
n=1时，2n+1=3=a₁，
∴a_n=2n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和：
A_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6n+9}$．
（2）∵数列{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），
∴b₁=T₁=2-1=1，
n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
n=1时，2^n-1=1=a₁，
∴${b}_{n}={2}^{n-1}$，
∴a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，
∴数列{a_n•b_n}的前n项和：
B_n=3•1+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，①
2B_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，②
①-②，得-B_n=3+2²+2³+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）•2ⁿ，
∴B_n=（2n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列项求和法和错位相减法的合理运用．