Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}$（a_n-1）（n∈N^×）
（1）求a₁和a₂的值．
（2）求证：数列{a_n}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2即可求a₁和a₂的值．
（2）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n}为等比数列．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n-1）（n∈N^×），
∴当n=1时，a₁=$\frac{1}{4}$（a₁-1），解得a₁=-$\frac{1}{3}$，
当n=2时，a₁+a₂=$\frac{1}{4}$（a₂-1），解得a₂=$\frac{1}{9}$．
证明：（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n-1）-$\frac{1}{4}$（a_n-1-1）=$\frac{1}{4}$a_n-$\frac{1}{4}$a_n-1，
即3a_n=-a_n-1，
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$-\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是公比q=-$\frac{1}{3}$的等比数列．

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用，结合等比数列的定义以及a_n=S_n-S_n-1是解决本题的关键．