Question

已知函数．
（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导，根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论．
（II）当m=1时，构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在[0，1]上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x），同理得到函数在[0，1]上递减，得到递减的条件，得到结论．
解答：解：（I），
∴．
对，，故不存在实数m，
使对恒成立，
由对恒成立得，
m≥对恒成立
而＜0，故m≥0
经检验，当m≥0时，对恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．
（II）证明：当m=1时，令
，
在[0，1]上总有g′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上递增
∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），
即．
令，
由（2）知它在[0，1]上递减，
∴h（a）＜h（b）
即
综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，＜．
点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力，是一个中档题．