Question

20．求下列函数的定义域、值域．
（1）y=x+$\sqrt{2x-1}$；
（2）y=$\frac{2x-1}{3+x}$；
（3）y=|x+1|+|x-2|；
（4）y=$\frac{3{x}^{2}+3x+1}{{x}^{2}+x+1}$．

Answer 1

分析 （1）解2x-1≥0可得定义域，由函数单调递增可得值域；
（2）分离常数法可得y=2-$\frac{7}{3+x}$，由$\frac{7}{3+x}$≠0可得；
（3）分类讨论取绝对值可得；
（4）令t=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，换元可得y=3-$\frac{2}{t}$，由t≥$\frac{3}{4}$和不等式的性质可得．

解答 解：（1）由2x-1≥0可解得x≥$\frac{1}{2}$，
∴y=x+$\sqrt{2x-1}$的定义域为[$\frac{1}{2}$，+∞），
由函数单调递增可得当x=$\frac{1}{2}$时，y取最小值$\frac{1}{2}$，
∴y=x+$\sqrt{2x-1}$的值域为[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）y=$\frac{2x-1}{3+x}$=$\frac{2（3+x）-7}{3+x}$=2-$\frac{7}{3+x}$，
∵$\frac{7}{3+x}$≠0，∴2-$\frac{7}{3+x}$≠2，
∴函数的值域为{x|x≠2}，定义域为{x|x≠-3}；
（3）函数y=|x+1|+|x-2|的定义域为R，
当x≤-1时，y=-2x+1≥3，当-1＜x＜2时，y=3，
当x≥2时，y=2x-1≥3，故函数的值域为[3，+∞）；
（4）令t=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
故函数的定义域为R，
换元可得y=$\frac{3{x}^{2}+3x+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{3t-2}{t}$=3-$\frac{2}{t}$，
由t≥$\frac{3}{4}$可得0＜$\frac{2}{t}$≤$\frac{8}{3}$，故-$\frac{8}{3}$≤-$\frac{2}{t}$＜0，
∴$\frac{1}{3}$≤3-$\frac{2}{t}$＜3，即函数的值域为[$\frac{1}{3}$，3）

点评 本题考查函数的定义域和值域，涉及分类常数法和换元等方法，属中档题．