Question

已知函数在区间[m，n]上为增函数，且f(m)f(n)=-4，
(Ⅰ)当a=3时，求m，n的值；
(Ⅱ)当f(n)-f(m)最小时，
①求a的值；
②若P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)（a＜x₁＜x₂＜n）是f(x)图象上的两点，且存在实数x₀，使得，证明：x₁＜x₀＜x₂。

Answer 1

解：，
(Ⅰ)当a=3时，
由得或x=2，
所以f（x）在上为增函数，在上为减函数，
由题意，知，
且，
因为，
所以，，
可知。
(Ⅱ)①因为，
当且仅当时等号成立，
由，有，得a≤0；
由，有，得a≥0；
故取得最小值时，a=0，n=1。
②此时，，
由知，，
欲证，先比较与的大小，

，
因为，所以，
有，
于是，
即，
另一方面，，
因为，
所以，
从而，即；
同理可证x₀＜x₂；
因此，x₁＜x₀＜x₂。