Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f （y²-6y+11）+f （x²-8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=的最小值和最大值分别为

1. A.
   3，2+
2. B.
   3，
3. C.
   ，2+
4. D.
   3，7

Answer 1

A
分析：先确定函数为奇函数、增函数，从而可得（x-4）²+（y-3）²≤4表示圆心在（4，3）半径为2的圆面，再利用目标函数的几何意义，即可得到结论．
解答：∵f（x）=x+sinx，∴f（-x）=-x-sinx=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，
∵f （y²-6y+11）+f （x²-8x+10）≤0，∴f（y²-6y+11）≤f（-x²+8x-10），
又f′（x）=1+cosx≥0，∴函数f（x）为增函数，
∴y²-6y+11≤-x²+8x-10 即（x-4）²+（y-3）²≤4表示圆心在（4，3）半径为2的圆面．
当y≥3时，F（x，y）=的最大值为2+，最小值是圆上的点（2，3）到点（-1，0）的距离，即3．
故选A．
点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．