考点:数列与不等式的综合,数列的求和
专题:等差数列与等比数列
分析:(Ⅰ)利用已知条件求出数列数列{an}的首项,判断数列是等比数列,然后求出通项公式;b3、b5是方程x2-14x+45=0的两根,求出这两项,利用等差数列的性质求解{bn}的通项公式;
(Ⅱ)通过cn=anbn,化简求解,然后利用作差法证明:cn+1≤cn;
(Ⅲ)利用错位相减法直接求解数列{cn}的前n项和Tn.
解答:
解:(Ⅰ)∵2S
n=1-a
n,∴当n=1时,2a
1=1-a
1,
所以
a1=当n=1时,2S
n=1-a
n…①,2S
n-1=1-a
n-1…②,
①-②得:2a
n=-a
n+a
n-1,
所以3a
n=a
n-1,∴
=,
所以数列{a
n}是首项为
a1=,公比
q=的等比数列,
∴
an=a1qn-1=•()n-1=因为b
3、b
5是方程x
2-14x+45=0的两根,且公差d>0,
∴b
3=5,b
5=9,
⇒,
所以{b
n}的通项公式为b
n=b
1+(n-1)d=2n-1
(Ⅱ)证明:
cn=anbn=,
cn+1-cn=-=,
∵n∈N
*,∴
cn+1-cn=≤0,
所以c
n+1≤c
n(Ⅲ)因为
cn=anbn=,
所以
Tn=+++…+…①,
Tn=++…++…②①-②得:
Tn=+2(++…+)-=
+2×-=-所以,
Tn=1-
点评:本题考查数列的通项公式与求和,考查错位相减法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.