Question

13．设数列{a_n}满足a_n=A•4ⁿ+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B≠0．
（1）若A=B=1，求{a_n}的前n项之和；
（2）证明：{a_n}不是等比数列；
（3）若a₁=a₂，数列{a_n}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（2）运用反证法，假设{a_n}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾，即可得证；
（3）数列{a_n}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，由题意可得B=-12A，构造函数f（x）=4^x-12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）由a_n=4ⁿ+n，
可得{a_n}的前n项之和为（4+4²+…+4ⁿ）+（1+2+…+n）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）+$\frac{1}{2}$（n²+n）；
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，
即有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=q（q为公比），
即为Aq•4ⁿ+Bq•n=A•4ⁿ⁺¹+B•（n+1），
即Aq=4A，Bq=B，B=0，
解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾，
则{a_n}不是等比数列；
（3）若a₁=a₂，数列{a_n}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，
设为a_k=a_m，（k，m不相等），
由a₁=a₂，可得4A+B=16A+2B，
即B=-12A．
则a_n=A•4ⁿ+B•n=A（4ⁿ-12•n），
即有A（4^k-12•k）=A（4^m-12•m），
即为4^k-12•k=4^m-12•m，
构造函数f（x）=4^x-12x，x＞0，
f′（x）=4^xln4-12，
由f′（x）=0可得x₀=log₄$\frac{12}{ln4}$∈（1，2），
当x＞x₀时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故数列{a_n}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．

点评 本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．