Question

已知函数f(x)=cos2x+

3

cos(

3π

2

+2x)-1，下列命题中不正确的是（　　）

• A．f（x）的图象关于直线x=

  π

  6

  对称
• B．f（x）的图象关于点(

  5π

  12

  ，0)成中心对称
• C．f（x）在区间[-

  π

  3

  ，

  π

  6

  ]上单调递增
• D．f（x）在区间[

  π

  12

  ，

  π

  3

  ]上的最大值是1，最小值是0

Answer 1

分析：利用两角和的正弦公式把f（x）化为2sin(2x+

π

6

)-1，再利用三角函数的图象和性质即可得出．

解答：解：f（x）=cos2x+

3

sin2x-1
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)-1
=2sin(2x+

π

6

)-1，
A．∵f（

π

6

）=2sin(2×

π

6

+

π

6

)-1=2×1-1=1，∴f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，正确；
B．∵f(

5π

12

)=2sin(2×

5π

12

+

π

6

)-1=2sinπ-1=-1，∴f（x）的图象关于点(

5

12

π，-1)成中心对称；
C．由x∈[-

π

3

，

π

6

]，得(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

π

2

]，∴sin(2x+

π

6

)在此区间上单调递增，因此f（x）在区间[-

π

3

，

π

6

]上单调递增，故正确；
D．由x∈[

π

12

，

π

3

]得(2x+

π

6

)∈[

π

3

，

5π

6

]，∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，∴0≤2sin(2x+

π

6

)≤1，即0≤f（x）≤1，∴f（x）在区间[

π

12

，

π

3

]上的最大值是1，最小值是0．
综上可知：不正确的是B．
故选B．

点评：熟练掌握利用两角和的正弦公式把asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）的方法、利用三角函数的图象和性质是解题的关键．