Question

【题目】有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点 百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．

（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
（2）若要在△ABO区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：小路的长度l=OA+OB+AB=（400+AB）米，

要使小路的长度最短，只需AB最短即可．

当OD⊥AB时，圆心距d最长为OD，此时AB最短，

（AB）min=2 ×2=200 米，

∴小路的最短长度为（4+2 ）（百米）．

（2）依题意，圆形广场内切于△ABO时，这块圆形广场的最大面积．

设△ABO的内切圆半径为r，

则有 = ，

由弦长公式得AB=2 ， ．

令AB=x，则r2=f（x）= ， ；

∵ ，∴x=AB=2 ．

∴ ，∴ =6﹣4 ．

这块圆形广场的最大面积s=πr2=（6﹣4 ）π（百米2）

【解析】（1）先写出小路长度的函数解析式，再利用弦长公式可得AB的最小值，进而可得小路的最短长度；（2）先令AB=x，利用已知条件可得r2用含有x的式子表示，再设r2=f（x），对f（x）求导，判断f（x）的单调性，进而可得f（x）的最大值，从而可得这块圆形广场的最大面积．