Question

设a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*）都是正数，且a₁a₂a_3^•…a_n⁼¹，试用数学归纳法证明：a₁+a₂+a_3⁺…+a_n≥n．

Answer 1

证明：①当n=1时，不等式成立
②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a₁a₂a_3^•…•a_k=1
若a₁，a₂，a₃，…，a_k相同，则都为1，不等式得证
若a₁，a₂，a₃，…，a_k不全相同，则a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a₁为a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大数，a₂为a₁，a₂，a₃，…，a_k的最小数．
则∵a₁a₂a_3^•…•a_k=1，∴最大数a₁≥1，最小数a₂≤1
现将a₁a₂看成一个数，利用归纳假设，有a₁a₂+a₃+…+a_k≥k-1…（1）
由于a₁≥1，a₂≤1，所以（a₁-1）（a₂-1）≤0
所以a₁a₂≤a₁+a₂-1…（2）
将（2）代入（1），得
（a₁+a₂-1）+a₃+…+a_k≥k-1，即a₁+a₂+a₃+…+a_k≥k
∴当n=k时，结论正确
综上可知，a₁+a₂+a₃+…+a_n≥n．
分析：先证n=1时，不等式成立，假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a₁a₂a_3^•…•a_k=1，分类讨论，利用假设，即可得到结论．
点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法的证题 步骤是关键．