Question

12．已知z是复数，z+2i与$\frac{z}{1-i}$均为实数（i为虚数单位）且复数（z+ai）²在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用已知条件求出z，然后化简复数（z+ai）²，利用对应点的坐标在第一象限，即可求解a的范围．

解答 解：z是复数，z+2i与$\frac{z}{1-i}$均为实数，
可设z=a-2i，$\frac{a-2i}{1-i}$=$\frac{（a-2i）（1+i）}{2}$=$\frac{2+a+（a-2）i}{2}$，可得a=2．
复数（z+ai）²=（2-2i+ai）²=-a²+4a+4（a-2）I，复数（z+ai）²在复平面内对应的点在第一象限，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+4a＞0}\\{a-2＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈（2，4）．

点评 本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．