Question

已知数列{a_n}有a₁?a，a₂?p （常数p＞0），对任意的正整数n，S_n?a₁a₂…a_n，并有S_n满足．
（1）求a的值；
（2）试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b，且，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，求数列的“上渐进值”．

Answer 1

解：（1）由 a=a₁=s₁ 和 ，
可得=0，∴a=0．
（2）∵=，∴．
作差可得 S_n-S_n-1=-，又S_n-S_n-1=a_n，化简可得 =．
∴a_n =k（n-1），故数列{a_n}是等差数列．
显然满足a₁=0，a₂ =p=k•（2-1），∴k=p．
∴a_n =p（n-1）=pn-p．
故故数列{a_n}的通项为a_n =p（n-1），是首项为0，公差为p的等差数列．
（3）∵=＜1，，
故数列{} 的“上渐进值”为1．
分析：（1）由 a=a₁=s₁ 和 可得 a 的值．
（2）先求出 S_n，可得 S_n-1，根据S_n-S_n-1=a_n，化简可得 =，a_n =k（n-1），故数列{a_n}是
等差数列．由a₂ =p=k•（2-1），求出 k 值，得到a_n =p（n-1）=pn-p．
（3）根据=＜1，且 ，得出数列的“上渐进值”为1．
点评：本题主要考查等差关系的确定，求数列极限的方法，“上渐进值”的定义，求出a_n =k（n-1），是解题的关键．