Question

对于二项式（1-x）¹⁰．求：
（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（2）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
（3）写出展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：r=0，1，2…11，展开式共11项，所以 中间项为第6项，利用二项展开式的通项公式求出第6项即可；
（2）设（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+…a₁₀x¹⁰通过赋值法即可求得所求的其余各项的系数和a₁+…a₁₀=-1，
（3）展开式中中间项T₆的系数为负，从而得出展开式中系数最大的项T₅和T₇，利用二项展开式的通项公式求出第5，7项即可．

解答：解：（1）由题意可知：r=0，1，2…11，展开式共11项，
所以 中间项为第6项：T₆=C₁₀⁵（-x）⁵=-252x⁵…（4分）
（2）设（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+…a₁₀x¹⁰
令x=1得：a₀+a₁+…a₁₀=0；
令x=0得：a₀=1；
所求的其余各项的系数和a₁+…a₁₀=-1，
（3）展开式中中间项T₆的系数为负，
∴展开式中系数最大的项T₅和T₇，
T₅=C₁₀⁴x⁴=210x⁴=T₇．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查二项式定理展开式共n+1项，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．