Question

某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

Answer 1

（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元
（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．

(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960
＝1 296(x＋)＋12 960
≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，
当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．
(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，
设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，
g(x)在上是增函数，
∴当x＝10时（此时），
g(x)有最小值，即f(x)有最小值，
即为1 296×＋12 960＝38 882元．
∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．