Question

19．已知函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+2{sin^2}\frac{x}{2}$．
（1）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心坐标；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且a=$\sqrt{3}，f（A）=\frac{3}{2}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求sinB+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），求出它的图象的对称中心坐标与对称轴方程；
（2）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）的单调增、单调减区间；
（3）先求出A的值，再利用正弦、余弦定理与推理求出sinB+sinC的值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+2{sin^2}\frac{x}{2}$
=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+（1-cosx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+1
=sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
令x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，求得x=kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）图象的对称中心为（kπ+$\frac{π}{6}$，1），k∈Z；
令x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x=kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z；
同理f（x）的单调减区间为[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z；
（3）△ABC中，a=$\sqrt{3}，f（A）=\frac{3}{2}$，
∴f（A）=sin（A-$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{3}{2}$，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{3}$或A=π（不合题意，舍去）；
又△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=2；
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=3，
∴b²+c²=bc+3=5；
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴sinB=$\frac{b}{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$，
∴sinB+sinC=$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{2}$=$\frac{1}{2}$（b+c）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（b+c）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{+c}^{2}+2bc}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5+2×2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积计算问题，是中档题目．