Question

【题目】定义为不超过的最大整数，例如，．已知是等比数列，若，且前项和为．

（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（2）求的通项公式；

（3）若，求数列的前项和．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）首先根据的范围确定出的可能取值有，，，分别将取，，代入不等式得到不等式组，求解得结果；

（2）利用等比数列项之间的关系以及求和公式，得到公比和首项所满足的等量关系式，之后应用等比数列的通项公式求得结果；

（3）根据通项公式写出数列的若干项，会发现从第五项开始往后都是大于0小于1的数，之后分类讨论求得结果.

（1）当时，的可能取值有，，，

所以，只需，解得，

即实数的取值范围为．

（2）设等比数列的公比为，由可得，

，由数列的前项和为可得，解得．

的通项公式为．

（3）由已知条件及（2）可得，，，，，，

当时，，

，，，，，，

当时，，

当时，

当时，．

．