Question

2．利用直角三角形中的边角关系证明：在任意△ABC中$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．

Answer 1

分析 分别在直角、锐角、钝角三角形中，利用锐角的正弦函数进行证明．

解答 证明：在RT△ABC中，如图所示：
C=90°，设AB=c、BC=a、AC=b，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{c}$，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{b}{c}$，
则c=$\frac{a}{sinA}$，c=$\frac{b}{sinB}$，
又∵sinC=1，c=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；
在锐角△ABC中，如图所示：
作CD⊥AB，垂足为D，设AB=c、BC=a、AC=b，
∴sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}{b}$，sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CD}{a}$，
则CD=bsinA，CD=asinB，
∴bsinA=asinB，则$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
同理可证$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$在锐角△ABC中成立；
在钝角△ABC中，如图所示：
A为钝角，延长BA、作CD⊥AB，垂足为D，
设AB=c、BC=a、AC=b，
在RT△ACD中，sin∠CAD=sin（π-A）=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}{b}$，
则sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}{b}$，
在RT△BCD中，sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CD}{a}$，
则CD=bsinA，CD=asinB，
∴bsinA=asinB，则$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
作BC边上的高线可得，$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$在钝角△ABC中成立；
综上，在任意△ABC中$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$成立．

点评 本题考查正弦定理的证明，以及锐角的正弦函数的应用，考查从特殊到一般的证明方法．