Question

某研究性学习小组研究函数y=lnx上的点P（x，y）与原点o的连线所在的直线的斜率k的值的变化规律．记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）某同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的正确判断；
（Ⅱ）某同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围；
（III）某同学丙发现：当x＞1时，函数k=f（x）的图象总在函数g(x)=

x-1

x 3 2

的图象的下方，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的正确判断．

Answer 1

分析：（I）某同学甲的判断不正确，理由为：f(x)=

lnx

x

，f′(x)=

1-lnx

x2

，利用f'（x）的符号，可得f（x）的单调性．
（Ⅱ）同学乙的判断正确，理由为：x→+∞时，f(x)=

lnx

x

→0，且

lnx

x

＞0（x＞e），由图象可得总存在正实数a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），由此求得实数a的取值范围．
（III）同学丙的判断正确：由f(x)-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，记g(x)=lnx-

x

+

1

x

，由g′（x）的符号可得g（x）的单调性，根据g（x）的单调性可得g（x）＜0，
f（x）-

x-1

x 3 2

＜0，即 f（x）＜

x-1

x 3 2

．

解答：解：（I）某同学甲的判断不正确．
依题意可得，f(x)=

lnx

x

，f′(x)=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0．
所以，f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减．  …（4分）
（Ⅱ）同学乙的判断正确．
∵当x→+∞时，f(x)=

lnx

x

→0，
且

lnx

x

＞0（x＞e），又由（1）得f（x）的图象如图所示
所以总存在正实数a、b且1＜a＜e＜b，
使得f（a）=f（b）即

lna

a

=

lnb

b

也就是 a^b=b^a，
此时实数a的取值范围为（1，e）．…（9分）
（III）同学丙的判断正确：问题等价于求证：当x＞1时，f(x)＜

x-1

x 3 2

成立．
∵f(x)-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，记g(x)=lnx-

x

+

1

x

，
g′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

-

1

2

x-

3

2

=

1

2

x-

3

2

(2

x

-x-1)=-

1

2

x-

3

2

(

x

-1)2＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上为减函数，则 g（x）=lnx-

x

+

1

x

＜g（1）=0，
所以 f（x）-

x-1

x 3 2

＜0，即 f（x）＜

x-1

x 3 2

，
∴当x＞1时，函数k=f（x）的图象总在函数g(x)=

x-1

x 3 2

的图象的下方． …（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．