Question

7．已知函数f（x）=x²+2bx+c，且f（1）=f（3）=-1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a²个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜4＜x₂，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有$\frac{μ-λ}{n-m}＞8$，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=f（3）=-1求出b，c值，得到函数f（x）的解析式，进而可得函数g（x）的解析式，由函数g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜4＜x₂，可得g（4）＜0，解得实数a的取值范围；
（Ⅱ）根据已知中“陡峭函数”的定义，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\ f（3）=-1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1+2b+c=-1\\ 9+6b+c=-1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=2\end{array}\right.$，
即f（x）=x²-4x+2，…（1分）
由题设可知g（x）=（x-a）²-4（x-a）+2-a²=x²-（2a+4）x+4a+2，…（2分）
因为g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜4＜x₂，
∴g（4）=16-4（2a+4）+4a+2＜0，$⇒a＞\frac{1}{2}$，
又a＞0，于是实数a的取值范围为$（{\frac{1}{2}，+∞}）$．…（5分）
（Ⅱ）由g（x）=x²-（2a+4）x+4a+2可知，其对称轴为x=a+2，…（6分）
①当0＜a≤2时，a+2≥2a，函数g（x）在区间[a，2a]上单调递减，
最小值λ=g（2a）=-4a+2，最大值μ=g（a）=-a²+2，
则$\frac{μ-λ}{2a-a}＞8⇒\frac{{4a-{a^2}}}{a}＞8⇒\left\{\begin{array}{l}4-a＞8\\ 0＜a≤2\end{array}\right.$，显然此时a不存在，…（8分）
②当2＜a≤4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=-a²-2，
又$a+2≥\frac{3a}{2}$，最大值μ=g（a）=-a²+2，则$\frac{μ-λ}{2a-a}＞8⇒\frac{4}{a}＞8$，$⇒0＜a＜\frac{1}{2}$，又2＜a≤4，此时a亦不存在，…（10分）
③当a＞4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=-a²-2，
又$a+2＜\frac{3a}{2}$，故最大值μ=g（2a）=-4a+2，
则$\frac{μ-λ}{2a-a}＞8⇒\frac{{{a^2}-4a+4}}{a}＞8⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}-12a+4＞0\\ a＞4\end{array}\right.$，$⇒\left\{\begin{array}{l}a＜6-4\sqrt{2}，或a＞6+4\sqrt{2}\\ a＞4\end{array}\right.$，即$a＞6+4\sqrt{2}$，
综上可知，实数a的取值范围为$（{6+4\sqrt{2}，+∞}）$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．