Question

(本小题14分)

函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,

并且当x＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.

Answer 1

(本小题14分)

解  （1）设x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,

则x₂-x₁＞0,

∴f(x₂-x₁)＞1………………………………………………………2分                                                         

f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0……………………………5分.                                                         

∴f（x₂）＞f(x₁).

即f(x)是R上的增函数. …………………………………………7分.                                                                  

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，

∴f（2）=3，……………………………………………………10分                                                                          ∴原不等式可化为f(3m²-m-2)＜f(2),

∵f(x)是R上的增函数，∴3m²-m-2＜2, ………………………12分                                                    

解得-1＜m＜,故解集为（-1, ）. ………………………14分