Question

（2011•泉州模拟）某学员在网上进行驾照模拟测试，在测试过程中，每答完一道题，屏幕上都会自动计算并显示当前答对题数、答错题数及正确率，若他共答了10道题，记每答完一道题，屏幕上自动显示的正确率分别为a₁，a₂，…a₁₀，以下给出四个判断：
①若a₁＜a₂＜…＜a₁₀，则必是第一题答错，其余题均答对；
②若a₁=a₂＞…＞a₁₀，则必是第一、第二题均答对，其余题均答错；
③有可能a₈＜a₉且a₉＞a₁₀；
④满足方程a₅=2a₁₀的序数对（a₅，a₁₀），不可能超过5对；
其中正确判断的序号是

①②③

（填写所有判断正确的序号）

Answer 1

分析：若a_n＜a_n+1，则第n+1题一定答对，当n=1时，还可得到第一题一定答错，若a_n＞a_n+1，则第n+1题一定答错，当n=1时，还可得到第一题一定答对，进而可判断四个结论的正误，得到答案．

解答：解：若a₁＜a₂，则第一题一定答错，第二题一定答对，
若a₂＜a₃，则第三题一定答对，
…
故若a₁＜a₂＜…＜a₁₀，则必是第一题答错，其余题均答对，即①正确；
a₉＞a₁₀，则第十题一定答错，
…
a₁=a₂＞a₃，则第三题一定答错，第一、二题一定答对
故若a₁=a₂＞…＞a₁₀，则必是第一、第二题均答对，其余题均答错，即②正确；
当前八题存在答错的题且第九题答对，第十题答错时，a₈＜a₉且a₉＞a₁₀，即③正确；
若a₅=1，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

1

2

，此时有序数对为（1，

1

2

）
若a₅=

4

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

2

5

，此时有序数对为（

4

5

，

2

5

）
若a₅=

3

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

3

10

，此时有序数对为（

3

5

，

3

10

）
若a₅=

2

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

1

5

，此时有序数对为（

2

5

，

1

5

）
若a₅=

1

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

1

10

，此时有序数对为（

1

5

，

1

10

）
若a₅=0，由a₅=2a₁₀得a₁₀=0，此时有序数对为（0，0）
故这样的有序数对为6对，故④错误；
故答案为：①②③

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了归纳推理，其中根据题意分析出若a_n＜a_n+1，则第n+1题一定答对，当n=1时，还可得到第一题一定答错，若a_n＞a_n+1，则第n+1题一定答错，当n=1时，还可得到第一题一定答对，是解答的关键．