Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的图象经过$M（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，$N（2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}）$两点，F是C的右焦点，D点坐标为（3，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l交C于A、B两点，求直线DA、DB的斜率之积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用$M（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，$N（2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}）$两点在椭圆C上，列出方程组求解a，b即可得到椭圆方程．
（2）通过当直线l的斜率不存在时，计算结果，当直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理表示向量关系式，然后求解k的范围即可．

解答 解：（1）由$M（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，$N（2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}）$两点在椭圆C上，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{a^2}+\frac{5}{{2{b^2}}}=1}\\{\frac{4}{a^2}+\frac{5}{{3{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$…（2分）
解得a²=6，b²=5，故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$．             …（5分）
（2）由（1）知F（1，0），
当直线l的斜率不存在时，计算得${k_{DA}}×{k_{DB}}=-\frac{25}{24}$．       …（6分）
当直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-1）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{5{x^2}+6{y^2}=3}\end{array}}\right.⇒（6{k^2}+5）{x^2}-12{k^2}x+6{k^2}-30=0$①…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由①得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{6{k^2}+5}}}\\{{x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}-30}}{{6{k^2}+5}}}\end{array}}\right.$②…（8分）
故${k_{DA}}×{k_{DB}}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}×\frac{y_2}{{{x_2}-3}}=\frac{{k（{x_1}-1）k（{x_2}-1）}}{{（{x_1}-3）（{x_2}-3）}}={k^2}\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}$③…（9分）

将②代入③化简得${k_{DA}}×{k_{DB}}={k^2}\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}=\frac{{-25{k^2}}}{{24{k^2}+15}}$…（10分）
当k=0时，得k_DA×k_DB=0，当k≠0时，${k_{DA}}×{k_{DB}}=-\frac{25}{{24+\frac{15}{k^2}}}$知$-\frac{25}{24}＜{k_{DA}}×{k_{DB}}＜0$，
综上可知，$-\frac{25}{24}≤{k_{DA}}×{k_{DB}}≤0$
即直线DA、DB的斜率之积的取值范围是$[-\frac{25}{24}，0]$…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求，转化思想的应用．