Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令，b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

解：（1）∵
∴
∴数列{a_n}是以为公差，首项a₁=1的等差数列
∴
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=
=
=-
（3）当n≥2时，
当n=1时，上式同样成立
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n=
=
∵恒有成立，
∵，即对一切n∈N^*成立，
∴，解得 m≥2011，
∴m_最小=2011
分析：（1）根据题意列出递推公式，再由等差数列的定义求通项公式a_n．
（2）根据式子的特点进行变形，然后由（1）知数列为等差数列求T_n．
（3）把a_n代入b_n整理后再裂项，然后求数列{b_n}的前n和s_n，再用放缩法和不等式恒成立问题，求m的值．
点评：本题的前两小题考查了等差数列的定义求和问题，最后一小题有一定的难度，用到了裂项相消法求和，处理不等式时用到了放缩法，使得不等式恒成立．