Question

已知函数f（x）=ln x-ax　 （a∈R，a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

解 （1）函数f（x）的定义域 为（0，+∞）．
f′（x）=-a= （2分）
因为a＞0，令f′（x）=-a=0，可得x=；
当0＜x＜时，f′（x）=＞0；当x＞时，f′（x）=＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（4分）
（2）①当0＜≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（6分）
②当≥2，即0＜a≤时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（8分）
③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在（1，）上是增函数，在（，2）上是减函数．
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2-2a．（10分）
综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．（12分）
分析：（1）求出导函数f′（x）=-a，并且解出它的零点x=，再分区间（0，）和（，+∞）上讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）分a≥1、0＜a≤和＜a＜1三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．
点评：本题给出含有对数的函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最小值，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上最值求法等知识，属于中档题．