Question

已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m：3x-y=0平分圆的面积．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过点D（0，-1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出AB的中垂线方程，圆心在直线3x-y=0，求出圆心，再求出半径，然后求圆C的方程；
（Ⅱ）写出过点D（0，-1），且斜率为k的直线l与圆C联立，有两个不同的公共点，就是△＞0，然后解不等式，求实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1），kAB=

3-(-1)

5-1

=1
故线段AB中垂线的方程为y-1=-（x-3），即x+y-4=0（2分）
由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上
又直线3x-y=0平分圆的面积，所以直线m经过圆心
由

x+y-4=0 3x-y=0

解得

x=1 y=3

即圆心的坐标为C（1，3），（4分）
而圆的半径r=|AC|=

(1-1)2+[3-(-1)]2

=4
故圆C的方程为（x-1）²+（y-3）²=16（6分）
（Ⅱ）由直线l的斜率为k，故可设其方程为y=kx-1（18分）
由

y=kx-1 (x-1)2+(y-3)2=16

消去y得（1+k²）x²-（8k+2）x+1=0
由已知直线l与圆C有两个不同的公共点
故△=（8k+2）²-4（1+k²）＞0，即15k²+8k＞0
解得：k＜-

8

15

或k＞0（12分）

点评：本题考查圆的标准方程，直线和圆的方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．